Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+2 $ đạt cực trị bằng 0 tại $ x=1 $ (với $ b $ và $ c $ là hằng số)

a) $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+2 ⇒f'\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } +2bx+c $. Hàm số $ y=f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+2 $ đạt cực trị bằng 0 tại $ x=1 $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { 1 } \right )=0 \\ f'\left ( { 1 } \right )=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} 1+b+c+2=0 \\ 3+2b+c=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} b+c=-3 \\ 2b+c=-3 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} b=0 \\ c=-3 \end{array} \right. $. Suy ra mệnh đề a) đúng. Khi đó $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } -3x+2 $, $ f'\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } -3 $, $ f'\left ( { x } \right )=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=-1 \\ x=1 \end{array} \right. $. Bảng biến thiên: b) Theo bảng biến thiên, hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đạt cực đại tại $ x=-1 $. Suy ra mệnh đề b) đúng. c) Theo bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số bằng $ 4 $. Suy ra mệnh đề c) sai. d) Theo bảng biến thiên, hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ nghịch biến trên khoảng $ \left ( { -1;1 } \right ) $ nên hàm số nghịch biến trên $ \left ( { -1;0 } \right ) $. Suy ra mệnh đề d) sai.