(THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh 2025) Một vật chuyển động. Quãng đường $ s\left ( { t } \right ) $ (tính theo mét) vật đi được sau khoảng thời gian $ t $ (tính theo giây), $ t\geq 0 $, được mô tả là một hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây: Hỏi trong $ 10 $ giây đầu tiên, khoảng thời gian vật chuyển động nhanh dần kéo dài bao nhiêu giây?

Giả sử $ s\left ( { t } \right )=at ^ { 3 } +bt ^ { 2 } +ct+d\,\,\left ( { a\neq 0 } \right ). $ Vì đồ thị hàm số $ s\left ( { t } \right ) $ đi qua các điểm $ \left ( { 0\,;\,0 } \right ) $, $ \left ( { 4\,;\,\frac { 8 } { 3 }\, } \right ) $, $ \left ( { 8\,;\,\,\frac { 112 } { 3 } } \right ) $ và $ \left ( { 10\,;\frac { 260 } { 3 } } \right ) $ nên ta có $ \left \{ \begin{array}{l} 64a+16b+4c=\frac { 8 } { 3 } \\ 512a+64b+8c=\frac { 112 } { 3 } \\ 1000a+100b+10c=\frac { 260 } { 3 } \\ d=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 1 } { 6 } \\ b=-1 \\ c=2 \\ d=0 \end{array} \right. $. Do đó $ s\left ( { t } \right )=\frac { 1 } { 6 }t ^ { 3 } -t ^ { 2 } +2t. $ Ta có $ v\left ( { t } \right )=s'\left ( { t } \right )=\frac { 1 } { 2 }t ^ { 2 } -2t+2⇒ v'\left ( { t } \right )=t-2=0⇔t=2. $ Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, từ giây thứ $ 2 $ trở đi vận tốc của vật tăng dần theo thời gian. Do đó trong $ 10 $ giây đầu tiên, khoảng thời gian vật chuyển động nhanh dần kéo dài từ giây thứ $ 2 $ đến giây thứ $ 10 $, tức là $ 8 $ giây.