Cho đường tròn $ \left ( { C_{ m } } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +4mx+2(m+1)y-1=0 $. Tìm $ m $để đường tròn có bán kính bé nhất.

Đặt $ a=\frac { 4m } { -2 }=-2m,b=\frac { 2(m+1) } { -2 }=-(m+1),c=-1 $. Ta có: $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } -c=4m ^ { 2 } +(m+1) ^ { 2 } +1>0,∀m∈\mathbb{R} $ nên $ \left ( { C_{ m } } \right ) $ luôn là đường tròn với mọi số thực $ m $. Bán kính đường tròn là: $ R=\sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } -c }=\sqrt[] { 5m ^ { 2 } +2m+2 }=\sqrt[] { 5\left ( { m+\frac { 1 } { 5 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 9 } { 5 } }≥\frac { 3\sqrt[] { 5 } } { 5 }. $ Vậy bán kính nhỏ nhất của đường tròn $ R_{ \min } =\frac { 3\sqrt[] { 5 } } { 5 } $; khi đó $ m=-\frac { 1 } { 5 }=-0,2 $.