Cho bất phương trình $ x ^ { 2 } -\left ( { 2m+2 } \right )x+2m+1>0 $.

Xét tam thức bậc hai ở vế trái: $f(x) = x^2 - (2m+2)x + 2m + 1$. Tam thức này luôn có hệ số $a = 1 > 0$ và biệt thức $\Delta' = (m+1)^2 - (2m+1) = m^2 \ge 0$. a) Sai. Khi $m = -1$, bất phương trình trở thành $x^2 > 0$. Đây vẫn là một bất phương trình bậc hai một ẩn (hệ số $a=1 \neq 0$). b) Đúng. Khi $m = 1$, bất phương trình trở thành $x^2 - 4x + 3 > 0$. Tam thức có hai nghiệm phân biệt $x = 1$ và $x = 3$. Vì $a = 1 > 0$, tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$. c) Sai. Để bất phương trình $f(x) > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì cần có $\Delta' < 0 \Leftrightarrow m^2 < 0$ (vô lý). Do đó, không tồn tại giá trị nào của $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. d) Đúng. - Xét bất phương trình thứ hai: $x^2 + 3x < 0 \Leftrightarrow -3 < x < 0$. Suy ra tập nghiệm của nó là $S_2 = (-3; 0)$. - Xét phương trình $x^2 - (2m+2)x + 2m + 1 = 0$, ta thấy $a + b + c = 1 - (2m+2) + 2m + 1 = 0$, nên phương trình luôn có hai nghiệm $x = 1$ và $x = 2m + 1$ (theo định lí Vi-ét, tích hai nghiệm bằng $\frac{2m+1}{1} = 2m+1$, và $x=1$ là một nghiệm nên nghiệm còn lại là $2m+1$). Vì $a = 1 > 0$, xét trường hợp $2m + 1 \le 1$ (tức $m \le 0$): tập nghiệm của $f(x) > 0$ là $S_1 = (-\infty; 2m+1) \cup (1; +\infty)$. Hai bất phương trình không có nghiệm chung $\Leftrightarrow S_1 \cap S_2 = \emptyset \Leftrightarrow 2m + 1 \le -3 \Leftrightarrow m \le -2$ (thỏa mãn giả thiết $m \le 0$). Vậy hai bất phương trình không có nghiệm chung khi và chỉ khi $m \le -2$, nên khẳng định d) đúng.