Cho phương trình $ \sqrt[] { x ^ { 2 } -3x-1 }=\sqrt[] { 4-x ^ { 2 } } $.

Xét phương trình: $\sqrt{x^2 - 3x - 1} = \sqrt{4 - x^2}$ a) Đúng. Khi thực hiện phép biến đổi bình phương hai vế, ta thu được phương trình hệ quả là: $x^2 - 3x - 1 = 4 - x^2$. b) Sai. Thu gọn phương trình hệ quả ta được: $2x^2 - 3x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \\ x = \frac{5}{2} \end{array}\right.$ Thử lại vào phương trình ban đầu: - Với $x = -1$: $\sqrt{(-1)^2 - 3(-1) - 1} = \sqrt{3}$ và $\sqrt{4 - (-1)^2} = \sqrt{3}$ (thỏa mãn). - Với $x = \frac{5}{2}$: Vế phải là $\sqrt{4 - \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{25}{4}} = \sqrt{-\frac{9}{4}}$ (không xác định, loại). Do đó, chỉ có $x = -1$ là nghiệm của phương trình đã cho, còn $x = \frac{5}{2}$ thì không. c) Đúng. Phương trình đã cho có tập nghiệm là $S = \{-1\}$. Nghiệm duy nhất này là một số nguyên, do đó phương trình có đúng 1 nghiệm nguyên. d) Sai. - Để bất phương trình $m^2 x^2 + (2m-1)x - 4 \le 0$ là bất phương trình bậc hai một ẩn thì hệ số của $x^2$ phải khác $0$, tức là $m \neq 0$. Mặt khác, tập nghiệm của bất phương trình phải chứa tập nghiệm của phương trình đã cho, tức là chứa $x = -1$. Thay $x = -1$ vào bất phương trình: $m^2(-1)^2 + (2m-1)(-1) - 4 \le 0 \Leftrightarrow m^2 - 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow -1 \le m \le 3$. Kết hợp với điều kiện $m \neq 0$, ta được $m \in [-1;3] \setminus \{0\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m \in \{-1; 1; 2; 3\}$, không phải 5 giá trị như khẳng định.