(THPT Hương Hóa - Quảng Trị 2025) Có hai hộp đựng các viên bi: Hộp $ I $ có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp $ II $ có 5 bi đỏ và 5 bi xanh (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng). Bạn Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp $ I $, bạn Như lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp $ II $. Biết rằng có viên bi đỏ được lấy ra, khi đó xác suất để bạn Như lấy được viên bi đỏ là $ \frac { a } { b }\,\, $($ a,b\in ℕ ^ { * } ,\frac { a } { b } $ tối giản). Tính $ a-b. $

Gọi $ A $ là biến cố: “Bạn Như lấy được viên bi đỏ”. Gọi $ B $ là biến cố: “Có viên bi đỏ trong hai viên được lấy ra”. Ta cần tìm xác suất $ P\left ( { A\|B } \right ) $. Theo công thức xác suất có điều kiện: $ P(A\|B)=\frac { P(AB) } { P(B) }=\frac { n(AB) } { n(B) } $ Ta có $ n(B)=C_{ 10 } ^{ 1 }.C_{ 10 } ^{ 1 }-C_{ 4 } ^{ 1 }.C_{ 5 } ^{ 1 }=80 $ (số cách lấy hai viên bi trong đó có ít nhất 1 bi đỏ) và $ n(AB)=C_{ 5 } ^{ 1 }.C_{ 10 } ^{ 1 }=50 $ (số cách lấy hai viên bi trong đó viên bi của bạn Như là bi đỏ). Thay số, ta được $ P(A\|B)=\frac { 50 } { 80 }=\frac { 5 } { 8 }. $ Vậy $ a=5,b=8⇒a-b=-3. $