(THPT Lê Thánh Tông - HCM 2025) Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 quả bóng màu trắng và 7 quả bóng màu đỏ, hộp II có 10 quả bóng màu trắng và 15 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu trắng là $ \frac { a } { b } $ ( là phân số tối giản). Tính $ a+b? $

Gọi $ A $ là biến cố: “Quả bóng lấy ra từ hộp thứ II có màu trắng”. Gọi$ B $ là biến cố: “Quả bóng lấy ra từ hộp thứ II là quả từ hộp I”. Ta cần tính $ P\left ( { B/A } \right ) $ Ta có $ P\left ( { B/A } \right )=\frac { P\left ( { AB } \right ) } { P\left ( { A } \right ) }=\frac { n\left ( { A∩B } \right ) } { n\left ( { A } \right ) } $ + Tính $ n\left ( { A } \right ) $ - Trường hợp 1: Hai quả bóng lấy từ hộp I chuyển sang hộp II đều màu trắng. Khi đó hộp II có 12 quả bóng trắng, 15 quả bóng đỏ. Vậy trường hợp này có số cách lấy là: $ C_{ 5 } ^{ 2 }.12=120 $. - Trường hợp 2: Hai quả bóng lấy từ hộp I chuyển sang hộp II có quả trắng, một quả đỏ. Khi đó hộp II có 11 quả bóng trắng, 16 quả bóng đỏ. Vậy trường hợp này có số cách lấy là: $ C_{ 5 } ^{ 1 }.C_{ 7 } ^{ 1 }.11=385. $ - Trường hợp 3: Hai quả bóng lấy từ hộp I chuyển sang hộp II đều màu đỏ. Khi đó hộp II có 10 quả bóng trắng, 17 quả bóng đỏ. Vậy trường hợp này có số cách lấy là: $ C_{ 7 } ^{ 2 }.10=210. $ Từ đó suy ra: $ n\left ( { A } \right )=120+385+210=715. $ + Tính $ n\left ( { A∩B } \right ) $ Ta có $ n\left ( { A∩B } \right )=C_{ 5 } ^{ 2 }.2+C_{ 5 } ^{ 1 }.C_{ 7 } ^{ 1 }.1=55. $ Vậy $ P\left ( { B/A } \right )=\frac { n\left ( { A∩B } \right ) } { n\left ( { A } \right ) }=\frac { 55 } { 715 }=\frac { 1 } { 13 }⇒a+b=14. $