Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Cho $\Big(\sqrt{2}+1\Big)^{x} = 2$ thì $A = \Big(\sqrt{2}+1\Big)^{-x} = \frac{1}{2}$. Đúng. b. Cho $\Big(\sqrt{2}+1\Big)^{x} = 2$ thì $B = \Big(3+2\sqrt{2}\Big)^{x} = 4$. Đúng. c. Cho $\Big(\sqrt{2}+1\Big)^{x} = 2$ thì $C = \Big(\sqrt{2}-1\Big)^{2024x} = 2^{2024}$. Sai. d. Cho $\Big(\sqrt{2}+1\Big)^{x} = a$ ($a > 0$) thì $D = \Big(\sqrt{2}-1\Big)^{2x} + \Big(3+2\sqrt{2}\Big)^{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $a = 1$. Đúng. Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) Đúng. Ta có: $$ A = \Big(\sqrt{2}+1\Big)^{-x} = \frac{1}{\Big(\sqrt{2}+1\Big)^{x}} = \frac{1}{2} $$ b) Đúng. Ta có: $$ B = \Big(3+2\sqrt{2}\Big)^{x} = \left[\Big(1+\sqrt{2}\Big)^{2}\right]^{x} = \Big(\sqrt{2}+1\Big)^{2x} = 4 $$ c) Sai. Do $\Big(\sqrt{2}+1\Big)\Big(\sqrt{2}-1\Big) = 1 \Rightarrow \Big(\sqrt{2}-1\Big)^{x} = \frac{1}{\Big(\sqrt{2}+1\Big)^{x}} = \frac{1}{2}$. Suy ra: $$ C = \Big(\sqrt{2}-1\Big)^{2024x} = \left[\Big(\sqrt{2}-1\Big)^{x}\right]^{2024} = \frac{1}{2^{2024}} $$ d) Đúng. Ta có: $$ D = \Big(\sqrt{2}-1\Big)^{2x} + \Big(3+2\sqrt{2}\Big)^{x} = \frac{1}{\Big(\sqrt{2}+1\Big)^{2x}} + \Big(1+\sqrt{2}\Big)^{2x} = \frac{1}{a^{2}} + a^{2} \geq 2 $$ Giá trị nhỏ nhất bằng $2$ khi $a^{2} = \frac{1}{a^{2}} \Rightarrow a = 1$.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cùng dạng: Quy tắc nhân, chia, lũy thừa của lũy thừa với số mũ thực