(THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa 2025) Cho hàm số $y=x+2+\frac{1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $d$ là khoảng cách giữa hai điểm cực trị của $(C)$ và $d_{1}$ là khoảng cách từ điểm cực đại của $(C)$ đến gốc tọa độ. Giá trị của $d^{2} + d_{1}^{2}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Ta có $y' = 1 - \frac{1}{(x+1)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = -2 \end{array} \right.$ Suy ra hai điểm cực trị của $(C)$ là $A(0;3)$ và $B(-2;-1)$ nên $d = AB = 2\sqrt{5} \Rightarrow d^{2} = 20$. Điểm cực đại là $B(-2;-1) \Rightarrow d_{1}^{2} = OB^{2} = (-2)^{2} + (-1)^{2} = 5$. Vậy $d^{2} + d_{1}^{2} = 25$.