Cho ba đường thẳng phân biệt song song với nhau từng đôi một $d_1, d_2$ và $d_3$. Trên $d_1$ có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ, trên $d_2$ có 5 điểm phân biệt được tô màu xanh, trên $d_3$ có 4 điểm phân biệt được tô màu vàng, không có 3 điểm khác màu nào thẳng hàng. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu xanh là $\frac{a}{b}$ (với $a, b \in \mathbb{N}^*$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a+b$.

Lời giải Tổng số điểm là $6 + 5 + 4 = 15$ điểm. Số cách chọn $3$ điểm bất kỳ là $C_{15}^3 = 455$. Số bộ $3$ điểm thẳng hàng là số bộ điểm nằm trên cùng một đường thẳng: - Trên $d_1$: $C_6^3 = 20$. - Trên $d_2$: $C_5^3 = 10$. - Trên $d_3$: $C_4^3 = 4$. Số phần tử của không gian mẫu (số tam giác tạo thành): $$ n(\Omega) = 455 - (20 + 10 + 4) = 421 $$ Gọi $A$ là biến cố: "Chọn được tam giác có hai đỉnh màu xanh". Để có $2$ đỉnh màu xanh, ta chọn $2$ điểm từ $5$ điểm màu xanh và $1$ điểm từ các điểm còn lại ($15 - 5 = 10$ điểm). Số cách chọn: $$ n(A) = C_5^2 \cdot C_{10}^1 = 10 \cdot 10 = 100 $$ Xác suất biến cố $A$ là: $$ P(A) = \frac{100}{421} $$ Vậy $\begin{cases} a = 100 \\ b = 421 \end{cases}$, khi đó $a + b = 521$.