Kết quả của tổng $ S=1+2⋅6+3⋅6 ^ { 2 } +…+79⋅6 ^ { 78 } $ được viết dưới dạng $ a+\frac { 394 } { 25 }⋅6 ^ { b } $ ($ b\in \mathbb{N},a $ là phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức $ P=25a+b $.

Từ giả thiết, ta có: $ 6S=6+2⋅6 ^ { 2 } +3⋅6 ^ { 3 } +…+79⋅6 ^ { 79 } $. Xét tổng $ S ^ { ′ } =1+6+6 ^ { 2 } +…+6 ^ { 78 } $ là tổng của 79 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 1 và công bội bằng $ 6 $, ta có: $ S ^ { ′ } =\frac { 1-6 ^ { 79 } } { 1-6 } $. Vậy $ -5S=S ^ { ′ } -79⋅6 ^ { 79 } =\frac { 1-6 ^ { 79 } } { 1-6 }-79⋅6 ^ { 79 } =-\frac { 1 } { 5 }-\frac { 394⋅6 ^ { 79 } } { 5 }⇒S=\frac { 1 } { 25 }+\frac { 394 } { 25 }⋅6 ^ { 79 } $. Ta có: $ S=\frac { 1 } { 25 }+\frac { 394 } { 25 }⋅6 ^ { 79 } =a+\frac { 394 } { 25 }⋅6 ^ { b } ⇒a=\frac { 1 } { 25 },b=79⇒P=25a+b=80 $.