Cho hai tập hợp $ A = \left[ m^2 + 2m; m^2 + 2m + 1 \right] $ và $ B = \left[ 2m - 1; 2m + 5 \right) $. Có tất cả bao nhiêu số nguyên $ m $ để $ A \subset B $?

Nhận thấy với mọi giá trị thực của tham số $ m $, ta luôn có $ m^2 + 2m < m^2 + 2m + 1 $ và $ 2m - 1 < 2m + 5 $ nên cả hai tập hợp số thực $ A $ và $ B $ luôn tồn tại và khác rỗng. Để tập hợp $ A $ là tập con của tập hợp $ B $ ($ A \subset B $), toàn bộ đoạn $ A $ phải nằm lọt hoàn toàn phía trong nửa khoảng $ B $. Điều này tương đương với hệ bất phương trình sau: $ \begin{cases} 2m - 1 \le m^2 + 2m \\ m^2 + 2m + 1 < 2m + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m^2 + 1 \ge 0 \quad \text{(luôn đúng với mọi số thực } m\text{)} \\ m^2 < 4 \end{cases} \Leftrightarrow -2 < m < 2 $. Vì đề bài chỉ tìm các giá trị nguyên của tham số $ m $ ($ m \in \mathbb{Z} $), nên từ khoảng điều kiện $ -2 < m < 2 $, ta lọc ra được các giá trị thích hợp là: $ m \in \{-1; 0; 1\} $. Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số $ m $ thỏa mãn điều kiện đề bài cho.