Trong mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $, Cho $ A\left ( { 0;\,6 } \right ),\,B\left ( { 2;5 } \right ) $ và $ \left ( { d } \right ):\,x-2y+2=0 $.

a) Sai. Vì $ 0-2.6+2=-10≠0 $ nên $ A∉\left ( { d } \right ) $. b) Đúng. Vì $ d\left ( { A,d } \right )=\frac { \left | { 0-2.6+2 } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } } }=2\sqrt[] { 5 } $. c) Sai. Vì khoảng cách ngắn nhất từ $ B $ đến đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $ bằng $ d\left ( { B,d } \right )=\frac { \left | { 2-2.5+2 } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 6 } { \sqrt[] { 5 } } $. d) Đúng. Ta có $ \left ( { x_{ A } -2y_{ A } +2 } \right )\left ( { x_{ B } -2y_{ B } +2 } \right )=60>0 $ nên $ A,\,B $ nằm cùng phía với đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $. Lấy $ B' $ đối xứng với $ B $ qua $ \left ( { d } \right ) $ thì $ \left ( { d } \right ) $ chính là đường trung trực của $ BB' $. Ta có: $ MA+MB=MA+MB' $ Để $ MA+MB $ nhỏ nhất thì $ MA+MB' $ nhỏ nhất khi và chỉ khi $ M,\,A,\,B' $ thẳng hàng. Đường thẳng $ BB' $ đi qua $ B\left ( { 2;5 } \right ) $ và nhận vecto $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 2;1 } \right ) $ làm vecto chỉ phương: $BB':2x+y-9=0$. Gọi $ F $ là giao điểm của $ BB' $ với $ \left ( { d } \right ) $ thì $ F\left ( { \frac { 16 } { 5 };\frac { 13 } { 5 } } \right ) $. $ F $ là trung điểm của $ BB' $ nên $ B'\left ( { \frac { 22 } { 5 };\frac { 1 } { 5 } } \right ) $. Vì $ M∈\left ( { d } \right ) $ nên $ M\left ( { 2t-2;t } \right ) $ suy ra $ \overset\rightarrow { AB' }=\left ( { \frac { 22 } { 5 };\frac { -29 } { 5 } } \right ) $; $ \overset\rightarrow { AM }=\left ( { 2t-2;\,t-6 } \right ) $. Vì $ \overset\rightarrow { AM };\,\overset\rightarrow { AB' } $ cùng phương suy ra: $ \frac { 22 } { 5 }\left ( { t-6 } \right )=-\frac { 29 } { 5 }\left ( { 2t-2 } \right )⇒t=\frac { 19 } { 8 } $. Vậy $ M\left ( { \frac { 11 } { 4 };\frac { 19 } { 8 } } \right ) $.