Một bể ban đầu chứa 10 gal dung dịch muối với 2 lb muối. Dung dịch vào có nồng độ $ 1.5lb/gal $ chảy vào với tốc độ $ 3gal/ $ phút, và hỗn hợp trong bể chảy ra với tốc độ $ 4gal/ $ phút. Người ta cho biết lượng muối trong bể sau $ t $ phút là $ x $ (pound), với $ x=f(t)=1,5(10-t)-0,0013(10-t) ^ { 4 } ,\quad 0\leq t\leq 10. $ Hỏi lượng muối tối đa có thể có trong bể tại một thời điểm nào đó là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Ta có công thức lượng muối $ x $ (pound) trong bể sau $ t $ phút: $ x(t)=1,5(10-t)-0,0013(10-t) ^ { 4 } ;\quad 0\leq t\leq 10 $ Đặt $ u=10-t $. Khi $ t $ chạy từ 0 đến 10 thì $ u $ chạy từ 10 xuống 0. Khi đó $ x=1,5u-0,0013u ^ { 4 } ;\quad 0\leq u\leq 10 $ Tính đạo hàm theo $ u $ ta được: $ 1,5-0,0013⋅4u ^ { 3 } =1,5-0,0052u ^ { 3 } $ Xét $ 1,5-0,0052u ^ { 3 } =0⇒u ^ { 3 } =\frac { 1,5 } { 0,0052 }≈288,46⇒u≈\sqrt[3] { 288,46 }≈6,62 $ Lập bảng xét dấu ta được: Suy ra tại $ u≈6,62 $: $ x_{ CĐ } =1,5⋅6,62-0,0013(6,62) ^ { 4 } ≈9,93-2,50≈7,43lb. $ Lượng muối trong bể đạt tối đa khoảng 7,43 lb tại thời điểm $ t≈3,38 $ phút kể từ lúc bắt đầu.