Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau: Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$). Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^{2}}$). Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ $n$, bỏ đi $3^{n-1}$ tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^{n}}$). Tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi bằng bao nhiêu?

Lời giải Diện tích các tam giác bỏ đi ở mỗi bước: + Bước 1: $1 \cdot \frac{1}{4}$ + Bước 2: $3 \cdot \frac{1}{4^{2}}$ + Bước 3: $3^{2} \cdot \frac{1}{4^{3}}$ + ... + Bước $n$: $3^{n-1} \cdot \frac{1}{4^{n}}$ Tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi sau $n$ bước là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = \frac{1}{4}$ và công bội $q = \frac{3}{4}$: $$ S_{n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - (3/4)^{n}}{1 - 3/4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - (3/4)^{n}}{1/4} = 1 - \Big(\frac{3}{4}\Big)^{n} $$ Tổng diện tích các tam giác bỏ đi khi số bước $n$ tiến đến vô cùng: $$ S = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} \Big(1 - \Big(\frac{3}{4}\Big)^{n}\Big) = 1. $$