Hai bạn cùng chơi trò chơi như sau, bạn thứ nhất bỏ vào hộp 2 viên bi thì bạn thứ hai sẽ bỏ vào số bi gấp đôi số bi của người kia đồng thời lấy ra khỏi hộp 1 viên, cuộc chơi dừng lại nếu số bi trong hộp lớn hơn 2000 viên. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu lần chơi thì dừng cuộc chơi?

Lời giải Số bi tăng thêm sau mỗi lần chơi $n$ được xác định theo dãy số: $$ u_{1} = 2, \quad u_{n+1} = 2u_{n} - 1 $$ Biến đổi: $$ u_{n+1} - 1 = 2(u_{n} - 1) $$ Đặt $v_{n} = u_{n} - 1$, ta có $v_{n+1} = 2v_{n}$, với $v_{1} = u_{1} - 1 = 1$. Suy ra $v_{n} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$. Do đó $u_{n} = 2^{n-1} + 1$. Tổng số bi trong hộp sau $n$ lần chơi: $$ T_{n} = \sum_{k=1}^{n} u_{k} = \sum_{k=1}^{n} (2^{k-1} + 1) = (2^{n} - 1) + n = 2^{n} + n - 1 $$ Điều kiện dừng cuộc chơi là $T_{n} > 2000$: $$ 2^{n} + n - 1 > 2000 $$ Thử chọn: Với $n = 10: 2^{10} + 10 - 1 = 1024 + 9 = 1033 < 2000$. Với $n = 11: 2^{11} + 11 - 1 = 2048 + 10 = 2058 > 2000$. Vậy sau ít nhất 11 lần chơi thì dừng cuộc chơi.