Thả một quả bóng từ độ cao 8 m, mỗi lần quả bóng sẽ nảy lên theo phương thẳng đứng lên cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường quả bóng di chuyển kể từ lúc thả cho đến khi dừng lại (đơn vị là m).

Lời giải Quãng đường quả bóng di chuyển là tổng của các khoảng cách rơi xuống và nảy lên. - Lần 1: Rơi xuống 8m. - Lần 2: Nảy lên $8 \cdot \frac{3}{4}$ (m), rơi xuống $8 \cdot \frac{3}{4}$ (m). - Lần $n$: Nảy lên $8 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^{n-1}$ (m), rơi xuống $8 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^{n-1}$ (m). Tổng quãng đường $S$ là: $$ S = 8 + 2 \cdot \Big(8 \cdot \frac{3}{4} + 8 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^{2} + ... \Big) = 8 + 16 \cdot \Big(\frac{3}{4} + \Big(\frac{3}{4}\Big)^{2} + ... \Big) $$ Tổng trong ngoặc là cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = \frac{3}{4}$ và $q = \frac{3}{4}$: $$ S = 8 + 16 \cdot \frac{3/4}{1 - 3/4} = 8 + 16 \cdot \frac{3/4}{1/4} = 8 + 16 \cdot 3 = 8 + 48 = 56 \; (\text{m}). $$