Vì nước và dầu không hoà tan vào nhau nên nếu dầu đổ vào nước sẽ tạo thành một mảng hình trụ trên bề mặt nước. Bán kính $ r(t) $ của mảng này lan ra với tốc độ tỉ lệ thuận với chiều cao $ h(t) $ của mảng dầu. Giả sử một lít dầu bị đổ trên mặt hồ tĩnh lặng. Bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm. Hỏi sau bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng phằn mười) thì bán kính vết tràn đạt 5 mét?

Vì mảng dầu này lan có dạng hình trụ, nên ta có thể tích khối dầu $ V=\pi ⋅r ^ { 2 } (t)⋅h(t) $ (thể tích này là không đổi) $ ⇒h(t)=\frac { V } { \pi r ^ { 2 } (t) } $ Bán kính $ r(t) $ của mảng dầu lan ra với tốc độ $ r ^ { ′ } (t) $, mà tốc độ lan ra $ r ^ { ′ } (t) $ tỉ lệ thuận với chiều cao $ h(t) $ của mảng dầu nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có $ r ^ { ′ } (t)=k⋅h(t)\quad (*) $ Thay $ h(t)=\frac { V } { \pi r ^ { 2 } (t) } $ vào biểu thức (*) ta được $ r ^ { ′ } (t)=k\frac { V } { \pi r ^ { 2 } (t) } $ Vì $ k\frac { V } { \pi } $ là 1 đại lượng không đổi nên đặt $ k\frac { V } { \pi }=a $ Khi đó $ r ^ { ′ } (t)=k\frac { V } { \pi r ^ { 2 } (t) }⇔r ^ { ′ } (t)=\frac { a } { r ^ { 2 } (t) }⇔3r ^ { ′ } (t)⋅r ^ { 2 } (t)=3a⇔\left[ r ^ { 3 } (t) \right] ^ { ′ } =3a $ Nguyên hàm 2 vế, ta được $ r ^ { 3 } (t)=\int 3adt⇔r ^ { 3 } (t)=3at+C $ Từ giả thiết: bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm, ta có hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} r(0)=20 \\ r(2)=50 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} C=20 ^ { 3 } =8000 \\ 3.2a+C=50 ^ { 3 } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} C=8000 \\ a=19500 \\ \end{array} \end{array} \right.⇒r ^ { 3 } (t)=58500t+8000\quad ( cm) $ Đổi $ 5 m=500 cm $ Bán kính vết tràn đạt 4 m tương đương với $ r(t)=500⇒500 ^ { 3 } =58500t+8000 $ $ ⇒t=\frac { 500 ^ { 3 } -8000 } { 58500 }≈2136,61(s)≈35,6 $ phút