Cho hàm số $y = \log_{5}\Big(x^{2} - (m-3)x + 1\Big)$ với tham số $m$.

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Lời giải a) Với $m = 3$, hàm số đã cho có dạng $y = \log_{5}\Big(x^{2} - (3-3)x + 1\Big) = \log_{5}\Big(x^{2} + 1\Big).$ Do đó ý a đúng. b) Với $m = 3$, hàm số là $y = \log_{5}\Big(x^{2} + 1\Big).$ Khi $x = 2 \Rightarrow y = \log_{5}(2^{2} + 1) = \log_{5}5 = 1.$ Đồ thị hàm số đi qua điểm $M(2; 1)$ chứ không phải $M(2; 2)$. Do đó ý b sai. c) Với $m = 1$, hàm số đã cho có dạng $y = \log_{5}\Big(x^{2} + 2x + 1\Big) = \log_{5}(x + 1)^{2}.$ Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}.$ Xét hàm số $f(x) = (x + 1)^{2}$ có đỉnh tại $x = -1$, nghịch biến trên khoảng $\Big(-\infty; -1\Big)$ và đồng biến trên khoảng $\Big(-1; +\infty\Big).$ Do cơ số $5 > 1$ nên hàm số $y$ nghịch biến trên khoảng $\Big(-\infty; -1\Big)$ và đồng biến trên khoảng $\Big(-1; +\infty\Big).$ Do đó ý c sai. d) Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $x^{2} - (m-3)x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Điều này tương đương với: $$ \Delta = (m-3)^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5 $$ Vì $m$ là số nguyên nên $m \in \{2; 3; 4\}.$ Vậy chỉ có 3 giá trị nguyên của $m.$ Do đó ý d sai.