Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông tâm $ O $ và $ SA $ vuông góc với đáy. Gọi $ H $, $ I $, $ K $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ SB $, $ SC $, $ SD $.

a) Đúng. Ta có $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ mà $ OB⊂\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ SA⊥OB $. b) Đúng. Ta có $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ mà $ CD⊂\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ SA⊥CD $. Lại có $ AD⊥CD $(vì $ ABCD $ là hình vuông). Do đó $ CD⊥\left ( { SAD } \right ) $. c) Đúng. Ta có $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ mà $ BC⊂\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ SA⊥BC $. Lại có $ AB⊥BC $(vì $ ABCD $ là hình vuông). Do đó $ BC⊥\left ( { SAB } \right ) $ mà $ AH⊂\left ( { SAB } \right ) $ nên $ BC⊥AH $. Mặt khác $ SB⊥AH $ suy ra $ AH⊥\left ( { SBC } \right ) $. d) Đúng. Xét $ ΔSAB $ vuông tại $ A $, đường cao $ AH $ ta có: $ SA ^ { 2 } =SH.SB $. Xét $ ΔSAD $ vuông tại $ A $, đường cao $ AK $ ta có: $ SA ^ { 2 } =SK.SD $. Do đó $ SH.SB=SK.SD ⇒\frac { SH } { SD }=\frac { SK } { SB } $. Mà $ ΔSAB=ΔSAD $(c.g.c)$ ⇒SB=SD $(hai cạnh tương ứng). Suy ra $ \frac { SH } { SB }=\frac { SK } { SD } ⇒HK $//$ BD $(định lí Ta-lét đảo).(1) Ta có: $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ mà $ BD⊂\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ SA⊥BD $. Lại có $ AC⊥BD $(vì $ ABCD $ là hình vuông). Do đó $ BD⊥\left ( { SAC } \right ) $ mà $ AI⊂\left ( { SAC } \right ) $ nên $ BD⊥AI $.(2) Từ (1) và (2) suy ra $ HK⊥AI $.