Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tứ giác $ABCD$ có $A(-2;0)$, $B(0;3)$, $C(3;2)$ và $D(3;-2)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho điểm $M(m; m+1)$ nằm ở miền trong của tứ giác $ABCD$ (không tính bốn cạnh $AB, BC, CD, DA$).

Miền trong của tứ giác $ABCD$ là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm các nửa mặt phẳng bờ lần lượt chứa các cạnh và chứa gốc tọa độ $O(0;0)$: - Đường thẳng $AB$: $-3x + 2y = 6 \Rightarrow$ nửa mặt phẳng chứa $O$ là $-3x + 2y < 6$. - Đường thẳng $BC$: $x + 3y = 9 \Rightarrow$ nửa mặt phẳng chứa $O$ là $x + 3y < 9$. - Đường thẳng $CD$: $x = 3 \Rightarrow$ nửa mặt phẳng chứa $O$ là $x < 3$. - Đường thẳng $DA$: $2x + 5y = -4 \Rightarrow$ nửa mặt phẳng chứa $O$ là $2x + 5y > -4$. Điểm $M(m; m+1)$ nằm ở miền trong tứ giác khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ bất phương trình trên: $$ \left\{ \begin{array}{l} -3m + 2(m+1) < 6 \\ m + 3(m+1) < 9 \\ m < 3 \\ 2m + 5(m+1) > -4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -m < 4 \\ 4m < 6 \\ m < 3 \\ 7m > -9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > -4 \\ m < \frac{3}{2} \\ m < 3 \\ m > -\frac{9}{7} \end{array} \right. \Leftrightarrow -\frac{9}{7} < m < \frac{3}{2} $$ Vì $m$ là số nguyên nên $m \in \{-1; 0; 1\}$. Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.