Độ $ pH $ của một dung dịch được tính theo công thức $ pH=-\log\left[ H ^ { + } \right] $, trong đó $ \left[ H ^ { + } \right] $ là nồng độ $ H ^ { + } $ tính bằng $ mol/l $. Ban đầu, một dung dich B có độ $ pH $ là $ 5 $. Trong $ 20 $ giây, người ta đổ nước thêm vào dung dịch B thì nồng độ ion nồng độ $ H ^ { + } $ thay đổi theo phương trình $ f\left ( { t } \right )=10 ^ { -\frac { t ^ { 2 } } { 100 }-\frac { 2t } { 40 }-5 } \,,\,\,0≤t≤20 $. Tính tốc độ thay đổi của $ pH $của dung dịch B tại giây thứ $ 10 $ ?

Ta có $ pH=-\log\left[ H ^ { + } \right]=-\log\left ( { 10 ^ { -\frac { t ^ { 2 } } { 100 }-\frac { 2t } { 40 }-5 } } \right )=-\left ( { -\frac { t ^ { 2 } } { 100 }-\frac { 2t } { 40 }-5 } \right )=\frac { t ^ { 2 } } { 100 }+\frac { 2t } { 40 }+5 $. Do đó tốc độ thay đổi của $ pH $ là $ \left ( { pH } \right ) '=\left ( { -\log\left[ H ^ { + } \right] } \right ) '=\left ( { \frac { t ^ { 2 } } { 100 }+\frac { 2t } { 40 }+5 } \right ) '=\frac { 2t } { 100 }+\frac { 2 } { 40 }=\frac { t } { 50 }+\frac { 1 } { 20 } $. Vậy tốc độ thay đổi của $ pH $của dung dịch A tại giây thứ $ 10 $ là $ \frac { 10 } { 50 }+\frac { 1 } { 20 }=\frac { 1 } { 4 } $.