Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, CD$. Số đo của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MN}$ bằng bao nhiêu độ?

Lời giải Ta có $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MN}$: $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} \cdot \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right) $$ $$ = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2} + \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0 - \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}a^{2} = 0 $$ Vậy góc giữa hai vectơ là $90^{\circ}$.