Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \frac { x ^ { 2 } } { 3 }{ \rm{ khi } }x≤1 \\ ax+b{ \rm{ khi } }x>1 \end{array} \right. $. Khi hàm số có đạo hàm tại $ x=1 $. Tính $ a+b $ (làm tròn kết quả ở hàng phần trăm).

Hàm số có đạo hàm tại $ x=1 $ suy ra hàm số liên tục tại $ x=1 $. Tức là $ \lim\limits_{ x→1 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→1 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=f\left ( { 1 } \right )⇔a+b=\frac { 1 } { 3 } $(1). Mà hàm số có đạo hàm tại $ x=1 $ thì $ \lim\limits_{ x→1 ^ { + } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 ^ { - } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 } $. Với $ \left \{ \begin{array}{l} \lim\limits_{ x→1 ^ { + } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 ^ { + } } \frac { ax+b-\left ( { a.1+b } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 ^ { + } } \frac { a\left ( { x-1 } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 ^ { + } } a=a \\ \lim\limits_{ x→1 ^ { - } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 ^ { - } } \frac { \frac { x ^ { 2 } } { 3 }-\frac { 1 } { 3 } } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 ^ { - } } \frac { \left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right ) } { 3\left ( { x-1 } \right ) }=\lim\limits_{ x→1 ^ { - } } \frac { \left ( { x+1 } \right ) } { 3 }=\frac { 2 } { 3 } \end{array} \right. $. Suy ra $ a=\frac { 2 } { 3 } $. Thay vào (1) được $ b=-\frac { 1 } { 3 } $. $ ⇒a+b=\frac { 1 } { 3 }≈0,33 $.