Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{lll} ax ^ { 2 } +bx+1 & khi & x≥0 \\ ax-b-1 & khi & x < 0 \\ \end{array} \end{array} \right. $. Khi hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm tại $ x_{ 0 } =0 $. Hãy tính $ T=a+2b $.

Ta có $ f\left ( { 0 } \right )=1 $. $ \lim\limits_{ x→0 ^ { + } } f\left ( { x } \right ) $ $ =\lim\limits_{ x→0 ^ { + } } \left ( { ax ^ { 2 } +bx+1 } \right ) $ $ =1 $. $ \lim\limits_{ x→0 ^ { - } } f\left ( { x } \right ) $ $ =\lim\limits_{ x→0 ^ { - } } \left ( { ax-b-1 } \right ) $ $ =-b-1 $. Để hàm số có đạo hàm tại $ x_{ 0 } =0 $ thì hàm số phải liên tục tại $ x_{ 0 } =0 $ nên $ f\left ( { 0 } \right )=\lim\limits_{ x→0 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→0 ^ { - } } f\left ( { x } \right ) $. Suy ra $ -b-1=1 ⇔b=-2 $. Khi đó $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} ax ^ { 2 } -2x+1,x≥0 \\ ax+1,x < 0 \end{array} \right. $. Xét: +) $ \lim\limits_{ x→0 ^ { + } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 0 } \right ) } { x } $ $ =\lim\limits_{ x→0 ^ { + } } \frac { ax ^ { 2 } -2x+1-1 } { x } $ $ =\lim\limits_{ x→0 ^ { + } } \left ( { ax-2 } \right )=-2 $. +) $ \lim\limits_{ x→0 ^ { - } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 0 } \right ) } { x } $ $ =\lim\limits_{ x→0 ^ { - } } \frac { ax+1-1 } { x } $ $ =\lim\limits_{ x→0 ^ { - } } a=a $. Để hàm số có đạo hàm tại $ x_{ 0 } =0 $ thì hai giới hạn trên phải bằng nhau, suy ra $ a=-2 $. Vậy $ T=a+2b=-2+2\left ( { -2 } \right )=-6 $.