Bạn An muốn làm một chiếc đèn lồng bằng gỗ hình chóp tứ giác đều, có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 20 cm như hình vẽ, được mô hình hóa bởi hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD. $ Để tạo nét độc đáo cho chiếc đèn, bạn An muốn trang trí một đoạn ruy băng nối từ một điểm trên cạnh $ BD $ đến một điểm trên cạnh bên $ SC $. Chiều dài ngắn nhất của đoạn ruy băng là $ a $ (cm). Tìm $ a $.

+ Do đèn lồng có dạng hình chóp tứ giác đều được mô hình hóa bởi hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ nên $ ABCD $ là hình vuông và $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $. + Vì $ BD $ và $ SC $ chéo nhau nên đoạn ruy băng nối từ một điểm trên cạnh $ BD $ đến một điểm trên cạnh bên $ SC $ngắn nhất chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $ BD $ và $ SC $. + $ SO⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SO⊥BD $. Lại có $ BD⊥AC $. Do đó $ BD⊥\left ( { SAC } \right ) $ tại $ O $. Kẻ $ OH⊥SC $tại $ H $. Vì $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥\left ( { SAC } \right ) \\ OH⊂\left ( { SAC } \right ) \end{array} \right.⇒BD⊥OH $ tại $ O $. Do đó $ d(BD;SC)=OH $. + Vì $ ABCD $ là hình vuông cạnh 20 cm nên $ OC=10\sqrt[] { 2 } $ cm; $ SO=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -OC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 20 ^ { 2 } -\left ( { 10\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=10\sqrt[] { 2 } $ cm Tam giác $ HCO $ đồng dạng với tam giác $ OCS $ nên ta có $ OH=\frac { SO.CO } { SC }=\frac { 10\sqrt[] { 2 }.10\sqrt[] { 2 } } { 20 }=10 $ cm. Vậy chiều dài ngắn nhất của đoạn ruy băng là 10 cm.