Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, $ AB=2 $, $ BC=2\sqrt[] { 3 } $, $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $, $ SA=2\sqrt[] { 3 } $. Tính khoảng cách từ điểm $ C $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Gọi $ O $ là tâm hình chữ nhật $ ABCD $, suy ra $ O $ là trung điểm $ AC $. Do đó $ d\left ( { C,\left ( { SBD } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right ) $. Gọi $ H $, $ I $ lần lượt là hình chiếu của $ A $ lên $ BD $, $ SH $. Ta có: $ BD⊥\left ( { SAH } \right ) $ nên $ BD⊥AI $. Mặt khác $ AI⊥SH $ nên $ AI⊥\left ( { SBD } \right ) $ Vậy $ d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right )=AI $. Xét tam giác $ ABD $ vuông tại $ A $: $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AD ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 4 }+\frac { 1 } { 12 }=\frac { 1 } { 3 } $ Xét tam giác $ SAH $ vuông tại $ A $: $ \frac { 1 } { AI ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 12 }+\frac { 1 } { 3 }=\frac { 5 } { 12 } $ Do đó $ AI=\frac { 2\sqrt[] { 15 } } { 5 }≈1.55 $. Vậy $ d\left ( { C,\left ( { SBD } \right ) } \right )=1.55 $.