Cho tứ diện $ ABCD $ có $ \left ( { ACD } \right )⊥\left ( { BCD } \right ) $, $ AC=AD=BC=BD=4 $, $ CD=x\left ( { 0 < x < 8 } \right ) $. Gọi $ I $, $ J $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD $. Với giá trị nào của $ x $ thì $ \left ( { ABC } \right )⊥\left ( { ABD } \right ) $ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Ta có tam giác $ ACD $ cân tại $ A $ nên $ AJ⊥CD $; tam giác $ BCD $ cân tại $ B $ nên $ BJ⊥CD $. Kết hợp với giả thiết $ \left ( { ACD } \right )⊥\left ( { BCD } \right ) $ ta được $ AJ⊥BJ $. Nhận thấy: $ ΔACD=ΔBCD\left ( { c.c.c } \right )⇒AJ=BJ⇒AB=AJ\sqrt[] { 2 }=\sqrt[] { 2\left ( { AC ^ { 2 } -CJ ^ { 2 } } \right ) }=\sqrt[] { 2\left ( { 16-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } \right ) } $ Tương tự ta cũng có $ CI=DI $. Ta có $ ΔCAB $ cân tại $ C $ nên $ CI⊥AB $; $ ΔDAB $ cân tại $ D $ nên $ DI⊥AB $. Nếu $ \left ( { ABC } \right )⊥\left ( { ABD } \right ) $ thì $ DI⊥\left ( { ABC } \right )⇒DI⊥CI ⇔ ΔICD $ vuông cân tại $ I $ $ ⇒CD=\sqrt[] { 2 }CI⇔CD=\sqrt[] { 2\left ( { AC ^ { 2 } -AI ^ { 2 } } \right ) }⇔CD=\sqrt[] { 2\left ( { AC ^ { 2 } -\frac { AB ^ { 2 } } { 4 } } \right ) } $ $ ⇔x=\sqrt[] { 2\left ( { 16-\frac { 64-x ^ { 2 } } { 8 } } \right ) } ⇔x ^ { 2 } =16+\frac { x ^ { 2 } } { 4 } $ $ ⇔x=\frac { 8\sqrt[] { 3 } } { 3 }≈4.6 $