Cho hình hộp đứng $ ABCD.A'B'C'D' $ có $ AA'=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $, đáy $ ABCD $ là hình thoi cạnh $ a $ và góc $ \widehat { BAD }=60° $. Gọi $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ A'D' $ và $ A'B' $. Khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { BDMN } \right ) $ là $ \frac { a\sqrt[] { m } } { 5 } $. Tìm $ m $.

Gọi $ O=AC∩BD $, $ O'=A'C'∩B'D' $ và $ E=MN∩A'C' $. Vì $ MN $ là đường trung bình trong $ ΔA'B'D' $nên $ E $là trung điểm $ O'A' $. Vẽ $ EF⊥AC $ ($ F\in AC $), suy ra $ EF⊥\left ( { ABCD } \right ) $, vì $ EF\,{ \rm{ // } }\,AA'\,{ \rm{ // } }\,OO' $ nên $ F $là trung điểm $ OA $ và $ EF=AA'=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Tỉ số $ \frac { d\left ( { A,\left ( { BDMN } \right ) } \right ) } { d\left ( { F,\left ( { BDMN } \right ) } \right ) }=\frac { AO } { FO }=2 ⇒d\left ( { A,\left ( { BDMN } \right ) } \right )=2.d\left ( { F,\left ( { BDMN } \right ) } \right ) $. Vẽ $ FH⊥EO $, nên $ FH⊥BD $, suy ra $ FH⊥\left ( { BDMN } \right ) $, do đó $ d\left ( { F,\left ( { BDMN } \right ) } \right )=FH $. Dễ thấy $ ΔABD $ đều cạnh $ a ⇒FO=\frac { 1 } { 2 }AO=\frac { 1 } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $. $ ΔEFO $ vuông tại $ F $có $ FH $là đường cao ứng với cạnh huyền nên $ \frac { 1 } { FH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { EF ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OF ^ { 2 } } $$ =\frac { 1 } { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 20 } { 3a ^ { 2 } } $$ ⇒FH ^ { 2 } =\frac { 3a ^ { 2 } } { 20 } $$ ⇒FH=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 10 } $. Vậy $ d\left ( { F,\left ( { BDMN } \right ) } \right )=FH=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 10 } $ nên $ d\left ( { A,\left ( { BDMN } \right ) } \right )=2.\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 10 }=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $.