Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, $ SA $ vuông góc với đáy $ ABCD $, biết rằng $ SA=a $, $ AB=2a $, $ AD=a\sqrt[] { 2 } $. Gọi $ H $, $ K $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A $ trên $ SB $ và $ SD $. Khoảng cách từ điểm $ B $ đến mặt phẳng $ \left ( { AHK } \right ) $ bằng $ \frac { m\sqrt[] { n }\,a } { n }\, $(với $ \frac { m } { n } $ là phân số tối giản), khi đó giá trị của $ m-n $ là

Lời giải Ta chứng minh được $SC \perp (AHK)$. Gọi $N = AI \cap SC$ ($I = SO \cap HK$). Ta có $d(B, (AHK)) = 4d(S, (AHK)) = 4SN$. Trong tam giác vuông $SAC$, $AN$ là đường cao, suy ra $SN = \frac{SA^2}{SC}$. Với $SA = a, SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (4a^2 + 2a^2)} = a\sqrt{7}$. Suy ra $SN = \frac{a^2}{a\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{7}}{7}$. Khoảng cách là $4 \cdot \frac{a\sqrt{7}}{7} = \frac{4\sqrt{7}a}{7}$. Vậy $m=4, n=7$, nên $m-n = -3$.