Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh bằng $ 10 $. Cạnh bên $ SA $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ và $ SC=10\sqrt[] { 5 } $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA $ và $ CD $. Tính khoảng cách $ d $ giữa $ BD $ và $ MN $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi $ P $ là trung điểm của $ BC ⇒BD\,{ \rm{ // } }\,NP ⇒BD\,\,{ \rm{ // } }\,\left ( { MNP } \right ) $ $ ⇒d\left ( { BD,MN } \right )=d\left ( { BD,\left ( { MNP } \right ) } \right ) =d\left ( { D,\left ( { MNP } \right ) } \right ) =d\left ( { C,\left ( { MNP } \right ) } \right ) $S$ =\frac { 1 } { 3 }d\left ( { A,\left ( { MNP } \right ) } \right ) $. Gọi $ I=AC∩NP $. Kẻ $ AH⊥MI $ tại $ H $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} NP⊥SA \\ NP⊥AC \end{array} \right.⇒NP⊥\left ( { SAC } \right ) ⇒NP⊥AH $. $ \left \{ \begin{array}{l} AH⊥MI \\ AH⊥NP \end{array} \right.⇒AH⊥\left ( { MNP } \right ) ⇒d\left ( { A,\left ( { MNP } \right ) } \right )=AH $. Ta có $ SA ^ { 2 } =SC ^ { 2 } -AC ^ { 2 } =\left ( { 10\sqrt[] { 5 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { 10\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } =300 $. Suy ra $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AM ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AI ^ { 2 } } $$ =\frac { 1 } { \left ( { \frac { SA } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { 3AC } { 4 } } \right ) ^ { 2 } } $$ =\frac { 4 } { 300 }+\frac { 16 } { 1800 } $$ =\frac { 20 } { 900 } $. $ ⇒AH=3\sqrt[] { 5 } $. Vậy $ d\left ( { BD,MN } \right )=\frac { 1 } { 3 }AH=\sqrt[] { 5 }≈2,24 $.