Trong một buổi dã ngoại, bạn Nam muốn dựng một cái lều hình kim tự tháp. Biết khoảng cách từ đỉnh lều tới một chân lều là $ 270{ \rm{ } }\left ( { cm } \right ) $, góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái lều đối diện là $ 55° $. Hỏi khoảng cách giữa hai chân lều liên tiếp Nam cần dựng bằng bao nhiêu milimet? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải Cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với $SA = 270$ (cm). Đặt cạnh đáy $AB = x$ (cm). Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$. Ta có $MN = x$, $AM = x/2$. Tam giác $SAM$ vuông tại $M$, suy ra $SM = \sqrt{SA^2 - AM^2} = \sqrt{270^2 - x^2/4}$. Xét tam giác $SMN$ có $SM = SN = \sqrt{270^2 - x^2/4}$ và góc $\widehat{MSN} = 55^\circ$. Áp dụng định lý hàm số côsin trong tam giác $SMN$: $$ MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(55^\circ) $$ $$ x^2 = 2 \cdot \Big(270^2 - \frac{x^2}{4}\Big) \cdot (1 - \cos(55^\circ)) $$ Giải phương trình trên ta được $x \approx 226,4$ (cm) $= 2264$ (mm).