Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là $60^\circ$ và hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $\Big(A'B'C'\Big)$ là trung điểm $H$ của cạnh $B'C'$. Tính $\tan$ góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $AC'$.

Lời giải Ta có $A'H$ là hình chiếu của $AA'$ lên mặt phẳng đáy. Do đó: $$ \widehat{\Big(AA', \Big(ABC\Big)\Big)} = \widehat{\Big(AA', A'H\Big)} = \widehat{AA'H} = 60^\circ $$ Lại có $A'H = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AH = \tan 60^\circ \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2}$ và $HC' = \frac{a}{2}$. Mặt khác: $$ \widehat{\Big(BC, AC'\Big)} = \widehat{\Big(AC', B'C'\Big)} = \widehat{AC'H} = \alpha $$ Do đó $\tan\alpha = \frac{AH}{HC'} = 3$.