Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB = 2a, BC = a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của đỉnh $S$ trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ hai).

Lời giải Ta có: $$ \widehat{\Big(SC, \Big(ABCD\Big)\Big)} = \widehat{\Big(SC, CH\Big)} = \widehat{SCH} = 60^\circ $$ Gọi $N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC, SC$. Ta có: $AC = a\sqrt{5}$, $CH = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$, $SH = CH \cdot \tan\widehat{SCH} = a\sqrt{6}$. $$ SB = \sqrt{SH^2 + HB^2} = \sqrt{(a\sqrt{6})^2 + a^2} = a\sqrt{7} $$ $$ SC = \sqrt{SH^2 + HC^2} = \sqrt{(a\sqrt{6})^2 + (a\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{2}a $$ Ta có: $HN = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{5}}{2}$; $NP = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{7}}{2}$; $HP = \frac{1}{2}SC = \sqrt{2}a$. Do $HN \parallel AC, NP \parallel SB$ nên $\widehat{(AC, SB)} = \widehat{(HN, NP)}$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác $HNP$ ta có: $$ \cos\widehat{HNP} = \frac{HN^2 + NP^2 - HP^2}{2 \cdot HN \cdot NP} = \frac{\Big(\frac{a\sqrt{5}}{2}\Big)^2 + \Big(\frac{a\sqrt{7}}{2}\Big)^2 - \Big(\sqrt{2}a\Big)^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{7}}{2}} \approx 0,34 $$ Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ xấp xỉ $0,34$.