Một nhà máy cần nối một đường ống nước thẳng từ bồn chứa tại điểm $ A\left ( { 0;0;0 } \right ) $đến máy xử lý đặt tại điểm $ B\left ( { 4;3;1 } \right ). $ Do địa hình bị chắn giữa hai điểm, đường ống bắt buộc phải đi qua một điểm $ M $ nằm trên mặt phẳng: $ \left ( { P } \right ):x+y+z=9 $ rồi mới đến điểm $ B $. Biết rằng hệ trục tọa độ $ Oxyz $ được gắn trong mô hình nhà máy với mỗi đơn vị tương ứng 1 mét. Hỏi chiều dài ống nước nhỏ nhất mà nhà máy cần nối bằng bao nhiêu mét?

Tổng độ dài hai đoạn thẳng $ AM+MB $ là ngắn nhất khi điểm $ M $ nằm trên đường thẳng $ AB′, $với $ B′ $ là điểm đối xứng của $ B $qua mặt phẳng $ \left ( { P } \right ). $ Gọi $ B′ $ là điểm đối xứng của $ B $ qua mặt phẳng $ \left ( { P } \right ). $ Khi đó toạ độ điểm $ B' $ là: $ \left ( { 4;3;1 } \right )+\frac { 2 } { 3 }\left ( { 1;1;1 } \right )=\left ( { \frac { 14 } { 3 };\frac { 11 } { 3 };\frac { 5 } { 3 } } \right ) $ Ta có: $ AB':\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 14 } { 3 }t \\ y=\frac { 11 } { 3 }t \\ z=\frac { 5 } { 3 }t \end{array} \right. $, gọi $ M\in AB'⇒M\left ( { \frac { 14 } { 3 }t;\frac { 11 } { 3 }t;\frac { 5 } { 3 }t } \right ) $, vì $ M\in P $ nên $ \frac { 14t } { 3 }+\frac { 11t } { 3 }+\frac { 5t } { 3 }=9⇒t=\frac { 9 } { 10 } $. Vậy $ M\left ( { \frac { 21 } { 5 };\frac { 33 } { 10 };\frac { 3 } { 2 } } \right ) $ Khi đó: $ AM=\sqrt[] { \frac { 3078 } { 100 } };\,BM=\sqrt[] { \frac { 38 } { 100 } } $ ta có: $ \sqrt[] { \frac { 3078 } { 100 } }+\sqrt[] { \frac { 38 } { 100 } }≈6,16 $(m)