Một tia sáng truyền từ không khí vào một vật liệu chế tạo thành khối lăng kính hình hộp chữ nhật. Tia sáng được phát theo hướng $ \overset\rightarrow { u }\left ( { -2;-3;-6 } \right ) $ từ nguồn sáng tại điểm $ P(2,2,4) $. Khối lăng kính được đặt sao cho tia sáng đi qua lăng kính, nhận tại điểm $ Q $ và ló ra tại điểm $ R $, rồi được thu bởi một cảm biến tại điểm $ S(-5,-6,-7) $. Góc nhọn giữa $ PQ $ và pháp tuyến của mặt trên lăng kính tại $ Q $ là $ \theta $, và góc nhọn giữa $ QR $ và cùng một pháp tuyến đó là $ \beta $ (xem hình bên). Cho biết mặt trên của lăng kính là một phần của mặt phẳng $ x+y+z=1 $ và đáy của lăng kính là một phần của mặt phẳng $ x+y+z=-9 $ Ngoài ra, tia sáng trên đoạn $ PQ $ song song với tia sáng trên đoạn $ RS $, và bốn điểm $ P,Q,R,S $ nằm trong cùng một mặt phẳng.

a) Đúng. Tìm tọa độ $ Q $ và $ R $ Do $ \overset\rightarrow { PQ }//\overset\rightarrow { u } $, ta có phương trình tham số đường thẳng $ PQ:\left \{ \begin{array}{l} x=2-2t \\ y=2-3t \\ z=4-6t \end{array} \right.,\,\,\,\left ( { t\in \mathbb{R} } \right ) $: Vì $ Q $ thuộc mặt phẳng $ x+y+z=1 $, nên $ (2-2t)+(2-3t)+(4-6t)=1⇒8-11t=1⇒t=\frac { 7 } { 11 }. $ Suy ra $ Q=\left ( { \frac { 8 } { 11 },\frac { 1 } { 11 },\frac { 2 } { 11 } } \right ). $ Tương tự, vì $ \overset\rightarrow { RS }//\overset\rightarrow { PQ } $, ta viết phương trình tham số $ RS:\left \{ \begin{array}{l} x=-5-2r \\ y=-6-3r \\ z=-7-6r \end{array} \right.,\,\,\left ( { r\in \mathbb{R} } \right ) $ Vì$ R $ thuộc mặt phẳng $ x+y+z=-9 $, nên $ (-5-2r)+(-6-3r)+(-7-6r)=-9⇒-18-11r=-9⇒r=-\frac { 9 } { 11 }. $ Suy ra $ R=\left ( { -\frac { 37 } { 11 },-\frac { 39 } { 11 },-\frac { 23 } { 11 } } \right ){ \rm{ . } } $ Suy ra $ QR=\frac { 5\sqrt[] { 170 } } { 11 } $ b) Sai. Tính $ \cos\theta $ và $ \cos\beta $ - Pháp tuyến mặt trên lăng kính: $ \overset\rightarrow { n }=(1,1,1) $. - Hướng tia tới: $ \overset\rightarrow { u }=(-2,-3,-6) $. - Hướng tia trong lăng kính: $ \overset\rightarrow { t }=(9,8,5) $ Do các góc $ \theta ,\beta $ là góc nhọn, ta lấy giá trị tuyệt đối trong tích vô hướng: $ \cos\theta =\frac { \left | { \overset\rightarrow { u }⋅\overset\rightarrow { n } } \right | } { \left | { \left | { \overset\rightarrow { u } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { n } } \right | } \right | }=\frac { \|(-2)+(-3)+(-6)\| } { 7\sqrt[] { 3 } }=\frac { 11 } { 7\sqrt[] { 3 } },\cos\beta =\frac { \left | { \overset\rightarrow { t }⋅\overset\rightarrow { n } } \right | } { \left | { \left | { \overset\rightarrow { t } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { n } } \right | } \right | }=\frac { 9+8+5 } { \sqrt[] { 9 ^ { 2 } +8 ^ { 2 } +5 ^ { 2 } }.\sqrt[] { 3 } }=\frac { 22 } { \sqrt[] { 510 } }. $ c) Đúng. Độ dày của lăng kính theo phương pháp tuyến Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $ \pi _{ 1 } :x+y+z=1,\quad \pi _{ 2 } :x+y+z=-9 $ Là $ d=\frac { \|1-(-9)\| } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { 10 } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { 10\sqrt[] { 3 } } { 3 }. $ d) Hệ số khúc xạ $ k $ Theo định luật Snell: $ \sin\theta =k\sin\beta $. Ta có $ \sin\theta =\sqrt[] { 1-\cos ^ { 2 } \theta }=\sqrt[] { 1-\frac { 121 } { 147 } }=\frac { \sqrt[] { 26 } } { 7\sqrt[] { 3 } },\quad \sin\beta =\sqrt[] { 1-\frac { 484 } { 510 } }=\frac { \sqrt[] { 26 } } { \sqrt[] { 510 } } $ Vậy $ k=\frac { \sin\theta } { \sin\beta }=\frac { \frac { \sqrt[] { 26 } } { 7\sqrt[] { 3 } } } { \frac { \sqrt[] { 26 } } { \sqrt[] { 510 } } }=\frac { \sqrt[] { 510 } } { 7\sqrt[] { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 170 } } { 7 } $