(THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội 2025) Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ $ Oxyz $. Điểm $ A $ là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng $ a:\left \{ \begin{array}{l} x=-3+t \\ y=1+t \\ z=-2+4t \end{array} \right. $ cắt mặt bàn $ \left ( { P } \right ):x+y-2z+6=0 $ tại điểm $ F $. Độ dài chân bàn $ FA=40\sqrt[] { 3 }\,cm $, khi đó độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là là bao nhiêu $ cm $?

Đường thẳng $ a:\left \{ \begin{array}{l} x=-3+t \\ y=1+t \\ z=-2+4t \end{array} \right. $ có vectơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1;1;4 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x+y-2z+6=0 $ có vectơ pháp tuyến $ \overset ightarrow { n }=\left ( { 1;1;-2 } \right ) $. $ \sin\left ( { a,\left ( { P } \right ) } \right )=\left | { \cos\left ( { \overset\rightarrow { u },\overset\rightarrow { n } } \right ) } \right |=\frac { \left | { \overset\rightarrow { u }.\overset\rightarrow { n } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { u } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { n } } \right | }=\sqrt[] { \frac { 1 } { 3 } }=\sinφ $. Độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là khoảng cách từ chân bàn $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ Suy ra $ d\left ( { A,(P) } \right )=AH=FA.\sinφ=40\sqrt[] { 3 }.\sqrt[] { \frac { 1 } { 3 } }=40\,cm $.