Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều ( tham khảo hình vẽ dưới). Cạnh đáy dưới dài $ 5 m $, cạnh đáy trên dài $ 2 m $, cạnh bên dài $ 3 m $. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là $ 1,6 $ triệu đồng$ /m ^ { 3 } $. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị triệu đồng ( làm tròn kết quả đến phần chục).

+ Giả sử chân tháp là khối chóp cụt tứ giác đều $ ABCD.MNPQ $ với $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ 5 m $, $ MNPQ $ là hình vuông cạnh $ 2 m $,$ AM=BN=CP=DQ=3 m $. + Vì $ DQ,NB $ cắt nhau nên $ D,Q,N,B $ đồng phẳng. Mà $ (ABCD)//(MNPQ) $ nên $ NQ//BD $. + Gọi $ I $ là giao điểm của $ MP $ và $ NQ,O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $. Khi đó $ IO⊥(MNPQ),IO⊥(ABCD) $. + Xét hình thang $ QNBD $, gọi $ H $ là hình chiếu của $ Q $ trên $ BD,K $ là hình chiếu của $ N $ trên $ BD $. Vì $ IO⊥BD $, $ QH⊥BD,NK⊥BD $ trong $ (QNBD) $ nên $ IO//QH//NK $. Suy ra $ QH⊥(MNPQ),QH⊥(ABCD) $ nên $ QH $ bằng chiều cao của khối chóp cụt đều. + Ngoài ra, ta có $ QH=NK=IO $ và $ QD=NB $. Suy ra $ ΔQHD=ΔNKB $ nên ta có $ HD=BK $. + Ta lại có $ QNKH $ là hình chữ nhật nên $ QN=HK $. Do đó: $ HD=\frac { BD-HK } { 2 }=\frac { \sqrt[] { AD ^ { 2 } +AB ^ { 2 } }-\sqrt[] { MN ^ { 2 } +MQ ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 5 ^ { 2 } +5 ^ { 2 } }-\sqrt[] { 2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }( m) $ + Xét tam giác $ QHD $ vuông tại $ H $ có: $ QH=\sqrt[] { QD ^ { 2 } -HD ^ { 2 } }=\sqrt[] { 3 ^ { 2 } -\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }( m). $ + Diện tích của hai đáy là: $ S_{ ABCD } =AB ^ { 2 } =5 ^ { 2 } =25\left ( {  m ^ { 2 } } \right ) $, $ S_{ MNPQ } =MN ^ { 2 } =2 ^ { 2 } =4\left ( {  m ^ { 2 } } \right ){ \rm{ . } } $ + Suy ra thể tích của khối chóp cụt đều là: $ V=\frac { 1 } { 3 }QH\left ( { S_{ ABCD } +\sqrt[] { S_{ ABCD } ⋅S_{ MNPQ } }+S_{ MNPQ } } \right )=\frac { 1 } { 3 }⋅\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }(25+\sqrt[] { 25⋅4 }+4)=\frac { 39\sqrt[] { 2 } } { 2 }\left ( {  m ^ { 3 } } \right ). $ Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là $ 1,6⋅\frac { 39\sqrt[] { 2 } } { 2 }≈44,1{ \rm{ } } $( triệu đồng).