Cho hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } -3x+6 } { x-1 } $.

a) Tập xác định: $ D=\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\} $. Ta có $ y'=\frac { x ^ { 2 } -2x-3 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } $. Cho $ y'=0⇔x ^ { 2 } -2x-3=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=3 \\ x=-1 \end{array} \right. $. BBT: Từ BBT suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ $ \left ( { 3;3 } \right )⇒a=3;b=3⇒a ^ { 2 } +b=12 $. Vậy a) đúng. b) Ta có $ y=\frac { x ^ { 2 } -3x+6 } { x-1 }=x-2+\frac { 4 } { x-1 } $. $ \lim\limits_{ x\to ±\infty } \left ( { \frac { x ^ { 2 } -3x+6 } { x-1 }-\left ( { x-2 } \right ) } \right )=\lim\limits_{ x\to ±\infty } \frac { 4 } { x-1 }=0 $. Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $ y=x-2 $. Vậy b) đúng. c) Ta có: $ \lim\limits_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { x ^ { 2 } -3x+6 } { x-1 }=-\infty ;\lim\limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { x ^ { 2 } -3x+6 } { x-1 }=+\infty $. Suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $ x=1 $. Gọi $ I $ là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $ ⇒I\left ( { 1;-1 } \right ) $. $ y'\left ( { 2 } \right )=-3 $; $ y\left ( { 2 } \right )=4 $. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $ x=2 $ có phương trình: $ y=-3\left ( { x-2 } \right )+4⇔y=-3x+10 $. $ A $ là giao điểm của tiếp tuyến và TCĐ, $ A\left ( { 1;7 } \right ) $. $ B $ là giao điểm của tiếp tuyến và TCX, $ B\left ( { 3;1 } \right ) $. $ AI=8;d\left ( { B,AI } \right )=2⇒S_{ ΔIAB } =\frac { 1 } { 2 }.8.2=8 $. Vậy c) sai. d) Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $ \frac { x ^ { 2 } -3x+6 } { x-1 }=m $ có hai nghiệm phân biệt $ x_{ 1 } ,x_{ 2 } $ thỏa mãn $ x_{ 1 } < 2 < x_{ 2 } < 15 $ khi $ m\in \left ( { 4;\frac { 93 } { 7 } } \right ) $. Do $ m\in \mathbb{Z}⇒m\in \left\{5;6;7;8;9;10;11;12;13\right\} $. Vậy có $ 9 $ giá trị nguyên của tham số $ m $ thoả mãn, Vậy d) đúng.