Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $ Oxy $, phương trình đường thẳng đi qua $ A\left ( { -1\,\;2 } \right ) $ và cách điểm $ B\left ( { 3\,\;5 } \right ) $ một khoảng bằng 3 có dạng $ x+my+n=0 $. Tính giá trị biểu thức $ P=m+n $ ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi phương trình đường thẳng $ Δ $ là $ ax+by+c=0 $. Điều kiện: $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } ≠0 $. $ A\left ( { -1\,\;2 } \right )∈Δ⇔-a+2b+c=0⇔c=a-2b $ (1) $ { \rm{ d } }\left ( { B;Δ } \right )=3⇔\left | { 3a+5b+c } \right |=3\sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } }\, $(2) Thay (1) vào (2), ta có: $ { \rm{ d } }\left ( { B;Δ } \right )=3⇔\left | { 4a+3b } \right |=3\sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } }\,⇔7a ^ { 2 } +24ab=0⇔\left[ \begin{array}{l} a=0 \\ 7a+24b=0 \\ \end{array} \right. $ . Với $ a=0 $: Chọn $ b=1⇒c=-2⇒Δ:y-2=0 $ ( loại) . Với $ 7a+24b=0 $: Chọn $ b=-7⇒a=24\,\,\;c=38⇒Δ:24x-7y+38=0 $. Khi đó phương trình $ Δ $ có dạng: $ x-\frac { 7 } { 24 }y+\frac { 38 } { 24 }=0⇒m=-\frac { 7 } { 24 };n=\frac { 38 } { 24 }⇒P=m+n=\frac { 31 } { 24 }≈1,29 $.