Trong mặt phẳng $ Oxy, $ cho hai đường thẳng $ d_{ 1 } :x+2y-4=0 $ và $ d_{ 2 } :\left \{ \begin{array}{l} x=4+2t \\ y=-5-t \end{array} \right.\ \,\,,\,(t∈\mathbb{R}) $. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Lời giải a) Đúng. Giải hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} x+2y-4=0 \\ x=4+2t \\ y=-5-t \end{array} \right. $, ta thấy hệ phương trình vô nghiệm. Vậy: $ d_{ 1 } //d_{ 2 } $ b) Đúng. $ d_{ 1 } $ có một vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=(1;\ 2) $. $ Ox $ có một vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { j }=(0;\ 1) $. Ta có: $ \cos\left ( { d_{ 1 } ,\ Ox } \right )=\frac { \left | { \overset\rightarrow { n_{ 1 } }.\overset\rightarrow { j } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { n_{ 1 } } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { j } } \right | }=\frac { \left | { 1.0+2.1 } \right | } { \sqrt[] { 5 }.1 }=\frac { 2 } { \sqrt[] { 5 } } $. c) Sai. Lấy $ A(4;-5)∈d_{ 2 } $. Do $ d_{ 1 } //d_{ 2 } $ nên $ d\left ( { d_{ 2 } ,\ d_{ 1 } } \right )=d(A,\ d_{ 1 } )=\frac { \left | { 4+2(-5)-4 } \right | } { \sqrt[] { 1+4 } }=2\sqrt[] { 5 } $. d) Sai. $ d_{ 2 } $ có một vectơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u_{ 2 } }=(2;\,-1) $ và $ \overset\rightarrow { OM }=(a;\,b) $ Do $ M\left ( { a;\ b } \right ) $ thuộc đường thẳng $ d_{ 2 } $ và $ OM $ đạt giá trị nhỏ nhất nên $ M $ là hình chiếu vuông góc của $ O $ lên đường thẳng $ d_{ 2 } $. Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} M∈d_{ 2 } \\ \overset\rightarrow { OM }⊥\overset\rightarrow { u_{ 2 } } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} M∈d_{ 2 } \\ \overset\rightarrow { OM }.\overset\rightarrow { u_{ 2 } }=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=4+2t \\ b=-5-t \\ 2.a-b=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { -6 } { 5 } \\ b=\frac { -12 } { 5 } \\ t=\frac { -13 } { 5 } \end{array} \right. $ Vậy: $ a+b=-\frac { 6 } { 5 }-\frac { 12 } { 5 }=-\frac { 18 } { 5 } $