Xét trên khu vực biển khá nhỏ ta xem mặt biển là một mặt phẳng. Đặt vào mặt phẳng ấy một hệ trục tọa độ $ Oxy $, mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Có ba hòn đảo $ A\,\,B\,\,C $ có tọa độ thỏa mãn $ A\left ( { 1;2 } \right ) $, $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 60;80 } \right ) $, $ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { 10;10 } \right ) $. Một chiếc tàu chở du khách từ đảo $ A $ đến đảo $ B $ để tham quan du lịch. Khi di chuyển thì du khách thấy đảo $ C $ hiện ra thấp thoáng. Khoảng cách ngắn nhất từ chiếc tàu chở du khách đến đảo $ C $ là bao nhiêu km?

Lời giải Ta có $ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { 10;10 } \right ) $ $ ⇒C\left ( { 11;12 } \right ) $. $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 60;80 } \right )=20.\left ( { 3;4 } \right ) $, suy ra đường thẳng $ AB $ có một vectơ pháp tuyến là $ n=\left ( { 4;-3 } \right ) $. Phương trình tổng quát của đường thẳng $ AB:4\left ( { x-1 } \right )-3\left ( { y-2 } \right )=0⇔4x-3y+2=0 $. Khoảng cách ngắn nhất từ tàu chở hành khách đến đảo $ C $ xấp xỉ khoảng cách từ đảo $ C $ đến đường thẳng $ AB $. $ d\left ( { C,AB } \right )=\frac { \left | { 4.11-3.12+2 } \right |{ \rm{ } } } { \sqrt[] { 4 ^ { 2 } +\left ( { -3 } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 10 } { 5 }=2 $ (km).