Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $ Oxy $, cho hai đường thẳng $ x+y-1=0 $ và $ 3x-y+5=0 $. Tính diện tích hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng đã cho, một đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng đó và giao điểm của hai đường chéo là $ I(3;3) $.

Lời giải Gọi hình bình hành là $ ABCD $ và $ d:x+y-1=0 $; $ Δ:3x-y+5=0 $. Giả sử $ d∩Δ=A\left ( { -1;2 } \right ) $, $ B∈Δ $, $ D∈d $. Ta có$ d∩Δ=A\left ( { -1;2 } \right ) $. Vì $ I\left ( { 3;3 } \right ) $ là tâm hình bình hành nên $ C\left ( { 7;4 } \right ) $ $ \overset\rightarrow { AC }=(8;2) $$\Rightarrow $Đường thẳng $ AC $có pt là: $ x-4y+9=0 $. Do $  BC $ song song $ d $ và đi qua điểm$ C\left ( { 7;4 } \right ) $và có vtpt $ \overset\rightarrow { n }=(1;1) $,có pt là $ x+y-11=0 $ Khi đó $ B(\frac { 3 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 })=BC∩Δ $. Diện tích $ S_{ ABCD } =d_{ (B,AC) } .AC=\frac { \left | { \frac { 3 } { 2 }+4(\frac { 1 } { 2 })+9 } \right | } { \sqrt[] { 17 } }.2\sqrt[] { 17 }=25 $.