Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy $, cho đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $ có phương trình: $ x+3y-3=0 $. Gọi $ Δ $ là đường thẳng qua điểm $ A\left ( { -2;\,0 } \right ) $ và tạo với $ \left ( { d } \right ) $ một góc $ 45° $. Biết $ Δ $ có hệ số góc âm, tính khoảng cách từ điểm $ B\left ( { 24;25 } \right ) $ đến đường thẳng $ Δ $ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục),

Gọi $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { A;B } \right ) $ là một VTPT của $ Δ $ $ \left ( { A ^ { 2 } +B ^ { 2 } ≠0 } \right ) $. Mà $ Δ $ đi qua điểm $ A\left ( { -2;\,0 } \right ) $ nên có phương trình là $ A\left ( { x+2 } \right )+B\left ( { y-0 } \right )=0 $ hay $ Ax+By+2A=0 $. Đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $ có một VTPT là $ \overset\rightarrow { n_{ d } }=\left ( { 1;3 } \right ) $. Theo đề $ Δ $ tạo với $ \left ( { d } \right ) $ một góc $ 45° $ nên $ \cos45°=\cos\frac { \left | { \overset\rightarrow { n }.\overset\rightarrow { n_{ d } } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { n } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { n_{ d } } } \right | } ⇔\frac { \left | { A+3B } \right | } { \sqrt[] { A ^ { 2 } +B ^ { 2 } }.\sqrt[] { 10 } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } } ⇔2\left ( { A+3B } \right ) ^ { 2 } =10\left ( { A ^ { 2 } +B ^ { 2 } } \right ) $ $ ⇔2A ^ { 2 } -3AB-2B ^ { 2 } =0 $$ ⇔\left ( { A-2B } \right )\left ( { 2A+B } \right )=0 $$ ⇔\left[\begin{array}{l} A=2B \\ B=-2A \end{array}\right. $. +) Với $ A=2B $, chọn $ B=1⇒A=2 $, ta được phương trình $ Δ:\,2x+y+4=0 $. +) Với $ B=-2A $, chọn $ A=1⇒B=-2 $, ta được phương trình $ Δ:\,x-2y+2=0 $. Do $ Δ $ có hệ số góc âm nên ta chọn $ Δ:\,2x+y+4=0 $. Khi đó $ { \rm{ d } }\left ( { B,Δ } \right )=\frac { \left | { 2⋅24+25+4 } \right | } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { 77\sqrt[] { 5 } } { 5 }≈34,4 $.