Trong mặt phẳng $ Oxy $, cho hai đường thẳng $ Δ:\left ( { m-2 } \right )x+\left ( { m-1 } \right )y+2m-1=0 $ và $ d:2x+y-3=0. $

Lời giải a) Đúng b) Đúng. Vì $ Δ⊥d⇔n_{ Δ } .n_{ d } =0⇔2\left ( { m-2 } \right )+m-1=0⇔m=\frac { 5 } { 3 }. $ c) Sai $ \cos\left ( { Δ,d } \right )=\frac { \left | { 3m-5 } \right | } { \sqrt[] { \left ( { m-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { m-1 } \right ) ^ { 2 } }.\sqrt[] { 5 } } \ ⇔\frac { \left | { 3m-5 } \right | } { \sqrt[] { 2m ^ { 2 } -6m+5 }.\sqrt[] { 5 } }=\frac { 1 } { 2 } \ ⇔26m ^ { 2 } -150m+75=0 \ ⇔m=\frac { 75±35\sqrt[] { 3 } } { 26 }⇒a=75,\,\,b=35,\,a+b=110. $ d) Đúng. Gọi $ B\left ( { x_{ 0 } ;\,\,y_{ 0 } } \right ) $ là điểm cố định mà đường thẳng $ Δ $ luôn đi qua với mọi giá trị của m và $ H $ là hình chiếu của $ A $ trên $ Δ $. Khi đó $ \left ( { m-2 } \right )x_{ 0 } +\left ( { m-1 } \right )y_{ 0 } +2m-1=0,\,\,∀m⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ 0 } +y_{ 0 } +2=0 \\ -2x_{ 0 } -y_{ 0 } -1=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ 0 } =1 \\ y_{ 0 } =-3 \end{array} \right. $. Tọa độ điểm $ B\left ( { 1;\,\,-3 } \right ) $. Ta có $ d\left ( { A,\,Δ } \right )=AH≤AB $. Do đó khoảng cách $ d\left ( { A,\,Δ } \right ) $ lớn nhất là bằng $ AB $, đạt được khi $ H≡B $. Suy ra $ \overset\rightarrow { AB }⊥Δ $ và $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -1\,;\,-6 } \right ) $. Do đó $ \overset\rightarrow { AB }.\,\overset\rightarrow { u }_{ Δ } =0⇔-1.\left ( { m-1 } \right )+\left ( { -6 } \right ).\left ( { 2-m } \right )=0⇔m=\frac { 11 } { 5 } $.