Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ biết $ AB:2x-y-4=0 $, $ BC:y=2 $, điểm $ M\left ( { 6;4 } \right )∈AC $. Điểm $ C $ có tổng hoành độ và tung độ bằng bao nhiêu?

Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng $ AC $ là $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { a;b } \right ) $ ($ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } >0 $). Đường thẳng $ AC $ có vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n_{ AC } }=\left ( { a;b } \right ) $ và đi qua điểm $ M\left ( { 6;4 } \right ) $ nên có phương trình là: $ a\left ( { x-6 } \right )+b\left ( { y-4 } \right )=0 $ hay $ ax+by-6a-4b=0 $. Ta có tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ nên $ \widehat { ABC }= \widehat { ACB } $ suy ra $ \cos \widehat { ABC }=\cos \widehat { ACB } $, hay $ \frac { \left | { \overset\rightarrow { n_{ AB } }⋅\overset\rightarrow { n_{ BC } } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { n_{ AB } } } \right |⋅\left | { \overset\rightarrow { n_{ BC } } } \right | }=\frac { \left | { \overset\rightarrow { n_{ AC } }⋅\overset\rightarrow { n_{ BC } } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { n_{ AC } } } \right |⋅\left | { \overset\rightarrow { n_{ BC } } } \right | } $. Do đó $ \frac { 1 } { \sqrt[] { 5 } }=\frac { \left | { b } \right | } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } } } $. Nhân chéo sau đó bình phương hai vế ta được $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } =5b ^ { 2 } $. Từ đây dễ dàng tìm được $ a=2b $ hoặc $ a=-2b $. - Với $ a=2b $: chọn $ b=1 $ suy ra $ a=2 $. Khi đó $ AC:2x+y-16=0 $. Tọa độ điểm $ C $ là nghiệm của hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} y=2 \\ 2x+y-16=0 \end{array} \right. $ suy ra $ C\left ( { 7;2 } \right ) $. - Với $ a=-2b $: chọn $ b=-1 $ suy ra $ a=2 $. Khi đó $ AC:2x-y-8=0 $ (loại, vì $ AB{ \rm{ // } }AC $). Vậy tổng hoành độ và tung độ của điểm $ C $ là $ 7+2=9 $.