Tích tất cả các giá trị của $ a $ để góc tạo bởi hai đường thẳng $ d_{ 1 } :\left \{ \begin{array}{l} x=1-at \\ y=3+2t \end{array} \right. $ và $ d_{ 2 } :3x+4y+5=0 $ bằng $ 45° $ bằng bao nhiêu?

Đường thẳng $ d_{ 1 } $ có vectơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u_{ 1 } }=\left ( { -a;2 } \right ) $, đường thẳng $ d_{ 2 } $ có vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n_{ 2 } }=\left ( { 3;4 } \right ) $ nên có vectơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u_{ 2 } }=\left ( { 4;-3 } \right ) $. Góc giữa $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $ bằng $ 45° $ nên $ \cos45°=\frac { \left | { \overset\rightarrow { u_{ 1 } }⋅\overset\rightarrow { u_{ 2 } } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { u_{ 1 } } } \right |⋅\left | { \overset\rightarrow { u_{ 2 } } } \right | } $ hay $ \frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { \left | { 4a+6 } \right | } { 5\sqrt[] { a ^ { 2 } +4 } } $ (1). Suy ra $ 5\sqrt[] { a ^ { 2 } +4 }=\sqrt[] { 2 }\left | { 4a+6 } \right | $. Bình phương hai vế của phương trình ta được: $ 25\left ( { a ^ { 2 } +4 } \right )=2\left ( { 4a+6 } \right ) ^ { 2 } $. Sau khi thu gọn ta được: $ 7a ^ { 2 } +96a-28=0 $. Từ đó tìm được $ a=\frac { 2 } { 7 } $ hoặc $ a=-14 $. Thay lần lượt hai giá trị này của $ a $ vào phương trình (1) ta thấy đều thỏa mãn. Vậy tích tất cả các giá trị của $ a $ bằng $ \frac { 2 } { 7 }⋅\left ( { -14 } \right )=-4 $.