Cho đường thẳng $ d_{ 1 } :\,\,\left \{ \begin{array}{l} x=1+\left ( { m-1 } \right )t \\ y=2+mt \end{array} \right. $ và đường thẳng $ d_{ 2 } :\,mx+4y-2=0 $. Khi đường thẳng $ d_{ 1 } $và $ d_{ 2 } $ vuông góc, tổng bình phương các giá trị nguyên dương của m là bao nhiêu?

Một VTCP của đường thẳng $ d_{ 1 } $là $ \overset\rightarrow { u }\left ( { m-1,m } \right ) $. Một VTPT của đường thẳng $ d_{ 2 } $là $ \overset\rightarrow { n }\left ( { m;4 } \right ) $nên $ d_{ 2 } $có 1 VTCP là $ \overset\rightarrow { v }\left ( { 4;-m } \right ) $. Khi hai đường thẳng $ d_{ 1 } ,\,\,d_{ 2 } $vuông góc ta có $ \overset\rightarrow { u }.\overset\rightarrow { v }=0⇔4\left ( { m-1 } \right )-m ^ { 2 } =0⇔m=2 $. Vậy $ m=2 $.