Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) ($ t≥0 $), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức$ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3-35t \\ y=-4+25t \\ \end{array} \end{array} \right. $, vị trí của tàu B có tọa độ là $ \left ( { 4-30t;\,3-40t } \right ) $. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Sai. Giả sử đường đi của tàu A là đường thẳng $ Δ_{ 1 } $, phương trình tham số của đường thẳng $ Δ_{ 1 } $ là: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3-35t \\ y=-4+25t \\ \end{array} \end{array} \right. $. Đường thẳng $ Δ_{ 1 } $ có vector chỉ phương là $ \overset\rightarrow { u_{ 1 } }=(-35;25) ⇒ $ Sai. b) Đúng. Đường đi của tàu B là $ Δ_{ 2 } $, vị trí của tàu B có tọa độ là $ \left ( { 4-30t;\,3-40t } \right ) $, do đó phương trình tham số của đường thẳng $ Δ_{ 2 } $:$ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=4-30t \\ y=3-40t \\ \end{array} \end{array} \right. $. Đường thẳng $ Δ_{ 2 } $ có vector chỉ phương là $ \overset\rightarrow { u_{ 2 } }=(-30;-40) $. Khi đó $ \cos(Δ_{ 1 } ,Δ_{ 2 } )=\frac { \|(-35).(-30)+25.(-40)\| } { \sqrt[] { (-35) ^ { 2 } +25 ^ { 2 } }.\sqrt[] { (-30) ^ { 2 } +(-40) ^ { 2 } } }=\frac { 50 } { 250\sqrt[] { 74 } }=\frac { 1 } { 5\sqrt[] { 74 } } $. Vậy côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B là $ \frac { 1 } { 5\sqrt[] { 74 } } ⇒ $Đúng c) Đúng. Ứng với t = 0, thay vào phương trình tham số của $ Δ_{ 1 } $ ta có:$ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3-35.0=3 \\ y=-4+25.0=-4 \\ \end{array} \end{array} \right. $. Do đó điểm A(3; -4) thuộc $ Δ_{ 1 } $. Đường thẳng $ Δ_{ 1 } $ đi qua điểm A(3; -4) và có một vector pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=(5;7) $. Vậy phương trình tổng quát của $ Δ_{ 1 } $ là: $ 5x+7y+13=0 $. Ứng với t = 0, thay vào phương trình tham số của $ Δ_{ 2 } $ ta có:$ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=4-30.0=4 \\ y=3-40.0=3 \\ \end{array} \end{array} \right. $. Do đó điểm B(4; 3) thuộc $ Δ_{ 2 } $. Đường thẳng $ Δ_{ 2 } $ đi qua điểm B(4; 3) và có một vector pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n_{ 2 } }=(4;-3) $. Vậy phương trình tổng quát của $ Δ_{ 2 } $ là: $ 4x-3y-7=0 $. *) Xét hệ phương trình:$ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 5x+7y+13=0 \\ 4x-3y-7=0 \\ \end{array} \end{array} \right. $. Hệ có nghiệm duy nhất $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=\frac { 10 } { 43 } \\ y=-\frac { 87 } { 43 } \\ \end{array} \end{array} \right. $. Suy ra hai đường thẳng $ Δ_{ 1 } $ và $ Δ_{ 2 } $ cắt nhau tại điểm có tọa độ $ (\frac { 10 } { 43 };-\frac { 87 } { 43 })⇒ $Đúng. d) Sai. Tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu nên tàu A đứng ở vị trí có tọa độ $ A\left ( { 3;-4 } \right ) $ (ứng với t = 0). Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là khoảng cách từ điểm A đến đường đi của tàu B (đường thẳng $ Δ_{ 2 } $:$ 4x-3y-7=0 $). Ta có: $ d(A,Δ_{ 2 } )=\frac { \|4.3-3.(-4)-7\| } { \sqrt[] { 4 ^ { 2 } +(-3) ^ { 2 } } }=\frac { 17 } { 5 }=3,4 $. Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 km$ ⇒ $ Sai.