Cho tam giác $ ABC $ có $ A\left ( { 1;1 } \right ),B\left ( { 5;0 } \right ),C\left ( { 4;4 } \right ) $. Đường thẳng $ d $ qua $ A\left ( { 1;1 } \right ) $, tạo với $ AC $ một góc $ 45 ^ { 0 } $ và cắt $ BC $ tại $ M\left ( { a;b } \right ) $ ($ M $ nằm giữa $ B,C $). Tính $ 4a+b $.

Lời giải Đáp số: 20 Đường thẳng $ BC $ có phương trình $ 4x+y=20 $ Đường thẳng $ AC $ có một vectơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u_{ 1 } }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AC }=\left ( { 1;1 } \right ) $ Gọi $ \overset\rightarrow { u_{ 2 } }=\left ( { m;n } \right ) $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $ thì $ \cos45 ^ { 0 } =\frac { \left | { m+n } \right | } { \sqrt[] { 2 }.\sqrt[] { m ^ { 2 } +n ^ { 2 } } }⇒\left | { m+n } \right |=\sqrt[] { m ^ { 2 } +n ^ { 2 } }⇒2mn=0⇒\left[ \begin{array}{l} m=0 \\ n=0 \end{array} \right. $ + TH1. $ m=0 $ Chọn $ n=1 $, khi đó $ d:\left \{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=1+t \end{array} \right. $. Suy ra $ d $ cắt $ BC:4x+y=20 $ tại $ M\left ( { 1;16 } \right ) $ (không thỏa mãn nằm giữa $ B,C $do $ \overset\rightarrow { MB },\overset\rightarrow { MC } $ cùng hướng) + TH2. $ n=0 $ Chọn $ m=1 $, khi đó $ d:\left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=1 \end{array} \right. $. Suy ra $ d $ cắt $ BC:4x+y=20 $ tại $ M\left ( { \frac { 19 } { 4 };1 } \right ) $ (thỏa mãn nằm giữa $ B,C $do $ \overset\rightarrow { MB },\overset\rightarrow { MC } $ ngược hướng) Do đó, $ 4a+b=20 $.